http://navercast.naver.com/science/math/22
http://epm1988.egloos.com/1254648

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0.a₀a₁a₂a₃... = lim(n-> 무한대) sum(i=0 to n) a_i/10ⁱ

으로 정의되어 있다. 따라서 고등학교 수학의 무한급수를 배운 사람이라면 아무 불만 없이 0.999... = 1 이란 걸 수긍할 수 있다.

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혹시 아무래도 이해가 안 간다는 사람에게 좀 기하학적인, 나 나름대로의 직관적인 설명을 해 본다.

0.999... 가 1에 무한히 다가가기 때문에 1과 다르다고 생각한다면, 1.000... 은 어떠한가? 일단 아래의 내 사고를 따라가 보자.

난 그림으로 생각하길 좋아하는데, 줄자의 눈금을 계속 줄여나가는 걸 생각하면, 0.999...에서 0.999까지 쓴 것은 1을 10등분하고, 10번째 구간을 선택하고, 그 구간을 10등분하고 10번째 구간을 선택하고, 그 구간을 10등분하고 10번째 구간을 선택한 것과 동등하다. 그렇게 9자가 늘어갈 수록, 구간은 1쪽으로 다가간다.

이와 같은 방법으로 1.000... 도 생각해 본다.

1.000까지 쓴 것은 1부터 2까지의 구간을 10등분하고, 1번째 구간을 선택하고, 그 구간을 다시 10등분하고 첫번째 구간을 선택하고, 그 구간을 10등분하고 첫번째 구간을 선택한 것과 동등하다. 그렇게 0자가 늘어갈 수록, 구간은 1쪽으로 다가간다.

어떤가, 0.999... = 1이 수긍이 가지 않는다면, 동등하게, 1.000... = 1임도 수긍이 안 가야할 것 같지 않은가? 다시 말해서, 1.000... = 1 인 것이 수긍이 간다면, 0.999... = 1이 수긍이 가야 할 것 같지 않은가?

이 두가지 과정은 기하학적으로 실수를 표현하는 직선의 방향을 바꾼 것에 지나지 않는다.

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사실 이 문제에서 더 재미있는 것은, 이런 수 표현 방식에서는 우리에게 친숙한 유한소수가 모두 두 개의 표현을 갖는다는 거다. 초등학교 산수시간 이후로 계속 껄끄러웠던 무한소수(반복되는 무한소수건, 안 반복되는 무한소수건 상관없이)여야 유일한 표현을 갖는다. (증명은!!??)

11명 중 1명 까칠한 님의 글

이 글을 이해하려면, 까칠한 님의 답안이랑, 그 전의 문제(와 고율씨 블로그에서 진행되었던 논의들)랑을 쭉 읽어 보셔야 해요.

까칠한 님의 답안을 검증해 보기 위해서 무식하게 확률을 계산해 보려고 했는데, 너무 복잡하더라고요. 그래서, 문제를 가장 단순하게 바꾸어 보고 확률을 계산해 보도록 할께요.

원래 문제는 6면을 가진 주사위로 11명 중에 1명을 고르는 방법인데, 제가 이제 계산할 문제는 2면을 가진 주사위(동전이라고 해도 되겠습니다.)로 3명 중에 1명을 고르는 방법입니다.

까칠한 님이 제안한 방법으로 당첨시킨다고 합시다.
두면짜리 주사위에는 1과 2라는 숫자가 써 있고, 주사위 두 개를 한꺼번에 던지며, A는 합이 2인 것, B는 합이 3인 것, C는 합이 4인 것을 택했습니다.

이 경우 까칠님이 그린 표를 저도 그려보면,

합	두 수의 합이 될 경우의 수	경우	가중치
2	1	1 1	2
3	2	1 2, 2 1	1
4	1	2 2	2

이렇게 됩니다. 이 시행을 최대 2번 반복하여서, 최종 합이 2가 되면 끝내도록 합니다. 자 확률을 구해봅니다. 아래 그림을 보세요.

그림에서 위아래로의 선분이 1의 전체 확률이고요. 첫번째 시행에서 1/4, 2/4, 1/4 확률로 주사위의 합이 정해지기 때문에 1이란 전체가 4로 나뉘어집니다. 그리고 두번째 에선 그 각자 구역이 4등분 되어 나가구요. 각 시행에서 나뉘어지는 4 구역 중에서 첫번째 것이 1 1, 두번째 것이 1 2, 세번째 것이 2 1, 네번째 것이 2 2입니다. 첫번째 시행에서 첫 구역과 마지막 구역은 이미 승자가 결정되어서 각각 빨간색 (A의 승리)과 파란색 (C의 당첨)이 칠해집니다. 두번째 시행은 나머지 구역에서만 나뉘어 집니다. 보라색과 남색 부분은 이미 승자가 결정되어 주사위 굴리기는 하지 않지만, 주사위 굴려도 아무 상관이 없는 부분입니다.

이렇게 해서 16등분된 확률을 잘 색칠해 보면, B가 불리했다는 걸 알 수 있네요. 아마 6개의 주사위로 11명 중에 한명을 뽑는 걸 이런식으로 한다고 해도, 공평한 게임은 안 되겠네요.

까칠님 설명을 읽어보고, 내가 뭘 착각했나 했었는데, 아니었네요.

이전에 브레인 맨, 다니엘 타멧 관해 한번 포스팅을 했었다. 방금 이 아저씨(실은 나보다 어리다)가 쓴 <브레인맨, 천국을 만나다>를 다 읽었다, 이전 포스팅에서 제기했던 의문들과 새로 생긴 의문을 정리해 본다. 도대체 이 아저씨 머릿속에선 어떤 일이 일어나고 있는 것일까?

우선 사실부터 정리해 보자. 아래에서 갈색이 인용이며, 인용의 페이지수는 <브레인맨, 천국을 만나다>1판의 것이다. 강조는 나의 것이다.

1. 나는 1부터 1만까지의 모든 숫자들 각각에 대해 독특한 시각적, 정서적 느낌을 갖고 있다. - 16페이지
1. 숫자 11은 친절하고, 5는 목소리가 크다. 반면4는 수줍음이 많은 데다 조용하다. ... 23, 667, 1179같은 숫자는 무척 커다란 모습이고, 6, 13, 581 같은숫자는 자그마하다. 333은 참 아름다운 모습이지만, 289는 못생겼다. -11~12페이지
2. 내게 숫자는 색상뿐만 아니라 형태, 촉감, 움직임을 가진사물로 인식된다. 예를 들어 1은 아주 밝고 반짝이는 흰색으로, 마치 번쩍하는 플래시 불빛처럼 보인다. 5는 천둥소리 아니면바위에 부딪치는 우렁찬 파도소리 같다. 그런가 하면 37은 포리지 표면처럼 울퉁불퉁하고, 89는 눈 내리는 모습을 연상시킨다. -12페이지
2. 나는 숫자 1부터 9973사이에 있는 소수들을 모두 기억하는데, 이들은 모두 조약돌과 같은 모양으로 머릿속에 형상화되어 있다. - 10페이지
1. 소수들은 아주 매끈한 감촉을 가진 모양새라서 상대적으로 까끌까끌해 보이는 비소수와는 확연히 구분된다. -20페이지
   
2. 어떤 숫자가 소수임을 확인하면, 말로 표현할 수 없는 짜릿한 느낌이 내 머릿속을 강타하는 듯하다. -20페이지
   
3. 한 주에 있는 각기 다른 요일들은 제각각 다른 색과 느낌을 갖고 있다.
1. 화요일은 따뜻한 색이지만 목요일은 흐릿한 색이다.
   
2. 날짜 계산능력은 많은 서번트들이 갖춘 재능 중 하나이다.
3. 요일과 날짜가 특정한 패턴을 형성하기 때문이 아닐까 싶다. ... 1월과 10월, 9월과 12월, 2월과 3월은 닮은 꼴이 많다. -여기까지 19페이지
   
4. 그날이 무슨 요일인지 맞히는 건 아주 쉬운 일이다. 내 생일날(1979년 1월 31일)을 생각하면 마음속에 절로 푸른색이 떠오른다. - 10페이지
4. 내가 가장 좋아하는 계산식은 제곱식 ... - 14페이지 (거듭제곱)
   
1. 내 머릿속에서 제곱식은 균형을 이룬 대칭형이라서 무척 아름다워 보인다. ....
   
2. 이런 제곱식들은 저마다 독특한 시각적 패턴을 지니고 있다.
3. 그 값이 커질수록 내 머릿속에서 인식되는 형태와 색깔들도 점점 복잡해진다.
4. 예를 들어 37의 다섯제곱을 계산하면, 작은 원들로 이루어진 큰 원이 위에서부터 시계방향으로 돌고 있는 것처럼 보인다.
   
5. 나눗셈을 하면, 점점 큰 고리를 그리면서 아래로 돌아내려가며 서로 겹치기도 하고 구부러지기도 하는 나선이 보인다. 나눗셈마다 나선형의 곡선이나 크기가 전부 다르다. 이런 시각화를 통해 13/97=0.1340206... 같은 소숫점 이하 100자리까지도 계산할 수 있다. -14페이지
   
6. 곱셈을 할 때면 두 숫자가 서로 다른 형태로 떠오른다. 계산을 시작하면 두 형태가 바뀌면서 새로운 세 번째 모양이 나타나기 시작해 그게 바로 답이 된다. - 15페이지 (아래 그림은 책에서 스캔한 53x131 이 6943으로 나타나는 걸 표현한 삽화)
   
1. 두 숫자는 고유한 형태를 갖고 있고 서로 마주 보고 있다. 그사이 공간이 세 번째 형태를 만들어내고, 그것은 새로운 숫자 6,943으로 인식된다. - 15페이지
   
2. 11을 곱하면, 머릿속에서 그 숫자들이 공중제비를 돈다. - 15페이지

10000까지의 숫자를 형태로 기억하고 외우고 있다(2)지만, 책의 진술들을 보면 이 형태들은 서로 연관성이 있어야만 할 것도 같다. 즉, 소수들은 조약돌처럼 매끈하고 단순(2.1)하게 생겼고, 합성수는 까끌까끌(2.1)하다. 두 수의 곱을 연산에 사용되는 두 수 사이의 공간에 맞는 형태를 찾아나가는 것(6.1에서 유추함)이라면, 합성수 일수록 동글동글하지 못하고, 여기저기 뜯겨진 모양일 것이다. 위 그림의 6943처럼 말이다. 과연 이런 공리를 만족하는 형태들의 집합이 있을까? 유일할까? 유일하다면, 이런 능력을 가진 사람들은 각각 자신의 머릿속에서 그려지는 각 숫자의 형태에 대해 동의할 수 있을 것이고, 그렇다면 일반인도 십진법 표기가 아닌 수의 입체적(아니면 평면적?) 표기법("시각화"라고 하여야 할까?)을 배워서 더 간단하게 암산을 할 수 있으리라.

1이 어떻게 생겨야 하는걸까? 어떤모양(A)과 나란히 세워나도 그 모양(A)과 1의 모양과 사이가 만드는 공간은 다시 그 모양(A)와 일치해야 된다. 이게 가능한가? 불가능할 것 같은데... 1과의 곱은 어차피 자기자신이란 걸 아니까 그런 구조는 없는 것인가?

10000 이상의 숫자에 대해 형태를 부여하는 것을 불가능한가? 복잡하지만, 가장 어울리는 모양을 10001, 10002, 10003 같은 수, 혹은 11000, 110000 같은 수에 부여하려는 노력을 해 보았을까? 수 형태의 복잡도는 왠지 수의 절대적 크기보다는 수의 약수의 갯수에 비례할 듯 한데, 안 그런가?

이런 연역적 구조가 불가능한 것이라면, 이들은 자신들도 알지 못하는 계산기계를 가지고 있으며, 타멧이 보고 느끼는 각 숫자의 심상은 그 블랙박스가 제공하는 UI일 뿐일까?

나눗셈은 왜 곱셈의 역이 아닌 나선형의 심상인가? 딱 안 떨어져서 그런가? 나누어 떨어지는 나눗셈은 곱셈을 구하는 것과 역으로 할 수 없나? 즉, 주어진 두 수의 사이 공간을 바라보는 것이 아니라, 피젯수의 여러 귀탱이에다가 제수를 이리저리 돌려 맞추어 본 다음에, 맞는 부분을 발견하면, 그 정 반대편 귀탱이의 凹에 들어맞는 수를 생각해 내는 것.

이런 의문들이 생겼다.

구글비디오에서 brain으로 검색하여, 다니엘 타멧(Daniel Tammet, 한글표기는 저서의 번역서에서)이란 사람의 다큐멘터리를 만날 수 있었다.

서번트 (사방) 증후군 중에 한명으로 머리속에서 엄청난 계산을 자동적으로 해내고, 수 개국의 언어를 구사한다고 한다. 자폐증 등으로 다른 사람과의 소통이 불가능한 다른 증후군 환자들과는 달리 데이빗 레터맨 쇼에 출연하여 자연스럽게 농담을 구사할 정도로 사회적인 능력도 정상인에 가깝다. (그렇지만 여전히 다른 사람들과의 사회생활이 어눌한 아스퍼거 증후군이라고 한다. - s : 레터맨 쇼)

내가 관심을 갖는 부분은 그가 숫자를 인식하는 방법이다. 그는 숫자 하나하나를 색깔과 모양이 있는 물체로 인식하고 (레터맨을 107과 닮았다고 표현하더라) 파이(3.1415...)를 아름다운 수라고 말하며 파이가 자기 머리속에서 보이는 모양을 그려놓기도 했다.

정확히 어떤 방식으로 수를 인지하는 걸까?

• 자연수는 무한하기 때문에, 모든 자연수에게 특유의 모양(이 포스트에서 얼굴이라 부르겠다)을 부여하기란 불가능하다. 다니엘이 얼굴을 부여한 수의 한계는 몇 까지인가?
• 10000까지는 특유의 모양이 있다고 한다.
• 그럼 10000 진수 시스템이 머릿속에 박혀 있다는 말인가? 10000보다 큰 수 중에서 얼굴을 부여한 수는 전혀 없을까? 다큐멘터리에서 본 실험에서는 4자리씩 확실하게 끊어서 말한다는 느낌을 주지는 않았다.
  
• 20자리까지 그린 파이의 그림에서 난 16개의 모양을 샐 수 있었다. 10000진수 기반이라면, 20/4 = 5 개의 모양이 합쳐진 것으로 충분할텐데 왜 파이는 이렇게 생겼나?
• 파이를 매우 좋아한다고 말한다. 파이라는 상수를 좋아하는 것이 수학적으로 의미가 있는 수이기 때문인가? (즉, 학습 이전에 인간이 가지고 있는 자연의 수학적 본성에 대한 본능적 감각 때문인가?) 아니면 여러 서적에서 중요하다고 강조되고, 빈번히 등장하는 수이기 때문에 학습에 의해 익숙해진 것인가?
• e, 황금비율, sqrt(2) 등의 수에 대한 타멧의 감정은 어떠할까?
• 2와 4, 8, 16, 32, ... 의 얼굴은 닮아 있을까? 일반화 해서, 배수들과 약수들은 어떤 관계로 연결되어 있을까?
  
• 다큐멘터리에서 나온 실험에선 두자리수의 거듭제곱 연산만 실험했었는데, 거듭제곱근을 구하는 연산도 자동적으로 나올까?

대충 이런 질문이 떠오른다. 앗, 또 이 아저씨가 아이슬란드어를 일주일 만에 배워서 대담프로에서 더듬더듬이라도 말을 하던데, 한국어 같이 문법적 구조가 완연히 다른 언어도 일주일 만에 해낼 수 있을까? 한국어-일본어는 단어 단위의 치환으로 어느정도의 소통이 가능하다. 독선생이 붙은 암기력이 뛰어난 사람에게 1주일까진 아니라도 꽤 짧은 시간에 가능할 수도 있다는 생각이다. 한국어-영어는 그것보다 높은 수준의 변환이 필요하다.

양수 n에 대해서 1과 n 사이에 1이 나오는 횟수를 나타내는 함수를 f(n)이라고 한다. 예를 들어 f(13)=6이다. f(n)=n이 되는 첫번째 양수는 1이다. 두번째 양수는 무엇인가.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	1	1	1	1	1	1	1	1
2	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
3	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
4	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
5	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
6	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
7	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
8	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
9	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0

그래서, f(99)는 20이다.

그럼 f(999)는 300이고, f(9999)는 4000이고, f(99999)는 50000이고, f(999999)는 600000이고, f(9999999)는 7000000이고, f(99999999)는 800000000이다.

즉, f(10ⁿ - 1) = n* 10^(n-1). n자리수를 n차원 공간으로 생각하면, 각 차원에서 1을 갖을 수 있는 것은 한 평면뿐이고, 그 평면의 크기는 10^(n-1)이다. 평면이 겹치는 곳은 생각하지 않고 각 평면당 10^(n-1)개를 셀 수 있으므로, n차원의 각 차원당 10^(n-1)개, 즉, n개의 10^(n-1) 개를 셀 수 있다.