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0.a₀a₁a₂a₃... = lim(n-> 무한대) sum(i=0 to n) a_i/10ⁱ

으로 정의되어 있다. 따라서 고등학교 수학의 무한급수를 배운 사람이라면 아무 불만 없이 0.999... = 1 이란 걸 수긍할 수 있다.

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혹시 아무래도 이해가 안 간다는 사람에게 좀 기하학적인, 나 나름대로의 직관적인 설명을 해 본다.

0.999... 가 1에 무한히 다가가기 때문에 1과 다르다고 생각한다면, 1.000... 은 어떠한가? 일단 아래의 내 사고를 따라가 보자.

난 그림으로 생각하길 좋아하는데, 줄자의 눈금을 계속 줄여나가는 걸 생각하면, 0.999...에서 0.999까지 쓴 것은 1을 10등분하고, 10번째 구간을 선택하고, 그 구간을 10등분하고 10번째 구간을 선택하고, 그 구간을 10등분하고 10번째 구간을 선택한 것과 동등하다. 그렇게 9자가 늘어갈 수록, 구간은 1쪽으로 다가간다.

이와 같은 방법으로 1.000... 도 생각해 본다.

1.000까지 쓴 것은 1부터 2까지의 구간을 10등분하고, 1번째 구간을 선택하고, 그 구간을 다시 10등분하고 첫번째 구간을 선택하고, 그 구간을 10등분하고 첫번째 구간을 선택한 것과 동등하다. 그렇게 0자가 늘어갈 수록, 구간은 1쪽으로 다가간다.

어떤가, 0.999... = 1이 수긍이 가지 않는다면, 동등하게, 1.000... = 1임도 수긍이 안 가야할 것 같지 않은가? 다시 말해서, 1.000... = 1 인 것이 수긍이 간다면, 0.999... = 1이 수긍이 가야 할 것 같지 않은가?

이 두가지 과정은 기하학적으로 실수를 표현하는 직선의 방향을 바꾼 것에 지나지 않는다.

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사실 이 문제에서 더 재미있는 것은, 이런 수 표현 방식에서는 우리에게 친숙한 유한소수가 모두 두 개의 표현을 갖는다는 거다. 초등학교 산수시간 이후로 계속 껄끄러웠던 무한소수(반복되는 무한소수건, 안 반복되는 무한소수건 상관없이)여야 유일한 표현을 갖는다. (증명은!!??)

11명 중 1명 까칠한 님의 글

이 글을 이해하려면, 까칠한 님의 답안이랑, 그 전의 문제(와 고율씨 블로그에서 진행되었던 논의들)랑을 쭉 읽어 보셔야 해요.

까칠한 님의 답안을 검증해 보기 위해서 무식하게 확률을 계산해 보려고 했는데, 너무 복잡하더라고요. 그래서, 문제를 가장 단순하게 바꾸어 보고 확률을 계산해 보도록 할께요.

원래 문제는 6면을 가진 주사위로 11명 중에 1명을 고르는 방법인데, 제가 이제 계산할 문제는 2면을 가진 주사위(동전이라고 해도 되겠습니다.)로 3명 중에 1명을 고르는 방법입니다.

까칠한 님이 제안한 방법으로 당첨시킨다고 합시다.
두면짜리 주사위에는 1과 2라는 숫자가 써 있고, 주사위 두 개를 한꺼번에 던지며, A는 합이 2인 것, B는 합이 3인 것, C는 합이 4인 것을 택했습니다.

이 경우 까칠님이 그린 표를 저도 그려보면,

합	두 수의 합이 될 경우의 수	경우	가중치
2	1	1 1	2
3	2	1 2, 2 1	1
4	1	2 2	2

이렇게 됩니다. 이 시행을 최대 2번 반복하여서, 최종 합이 2가 되면 끝내도록 합니다. 자 확률을 구해봅니다. 아래 그림을 보세요.

그림에서 위아래로의 선분이 1의 전체 확률이고요. 첫번째 시행에서 1/4, 2/4, 1/4 확률로 주사위의 합이 정해지기 때문에 1이란 전체가 4로 나뉘어집니다. 그리고 두번째 에선 그 각자 구역이 4등분 되어 나가구요. 각 시행에서 나뉘어지는 4 구역 중에서 첫번째 것이 1 1, 두번째 것이 1 2, 세번째 것이 2 1, 네번째 것이 2 2입니다. 첫번째 시행에서 첫 구역과 마지막 구역은 이미 승자가 결정되어서 각각 빨간색 (A의 승리)과 파란색 (C의 당첨)이 칠해집니다. 두번째 시행은 나머지 구역에서만 나뉘어 집니다. 보라색과 남색 부분은 이미 승자가 결정되어 주사위 굴리기는 하지 않지만, 주사위 굴려도 아무 상관이 없는 부분입니다.

이렇게 해서 16등분된 확률을 잘 색칠해 보면, B가 불리했다는 걸 알 수 있네요. 아마 6개의 주사위로 11명 중에 한명을 뽑는 걸 이런식으로 한다고 해도, 공평한 게임은 안 되겠네요.

까칠님 설명을 읽어보고, 내가 뭘 착각했나 했었는데, 아니었네요.