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0.a₀a₁a₂a₃... = lim(n-> 무한대) sum(i=0 to n) a_i/10ⁱ

으로 정의되어 있다. 따라서 고등학교 수학의 무한급수를 배운 사람이라면 아무 불만 없이 0.999... = 1 이란 걸 수긍할 수 있다.

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혹시 아무래도 이해가 안 간다는 사람에게 좀 기하학적인, 나 나름대로의 직관적인 설명을 해 본다.

0.999... 가 1에 무한히 다가가기 때문에 1과 다르다고 생각한다면, 1.000... 은 어떠한가? 일단 아래의 내 사고를 따라가 보자.

난 그림으로 생각하길 좋아하는데, 줄자의 눈금을 계속 줄여나가는 걸 생각하면, 0.999...에서 0.999까지 쓴 것은 1을 10등분하고, 10번째 구간을 선택하고, 그 구간을 10등분하고 10번째 구간을 선택하고, 그 구간을 10등분하고 10번째 구간을 선택한 것과 동등하다. 그렇게 9자가 늘어갈 수록, 구간은 1쪽으로 다가간다.

이와 같은 방법으로 1.000... 도 생각해 본다.

1.000까지 쓴 것은 1부터 2까지의 구간을 10등분하고, 1번째 구간을 선택하고, 그 구간을 다시 10등분하고 첫번째 구간을 선택하고, 그 구간을 10등분하고 첫번째 구간을 선택한 것과 동등하다. 그렇게 0자가 늘어갈 수록, 구간은 1쪽으로 다가간다.

어떤가, 0.999... = 1이 수긍이 가지 않는다면, 동등하게, 1.000... = 1임도 수긍이 안 가야할 것 같지 않은가? 다시 말해서, 1.000... = 1 인 것이 수긍이 간다면, 0.999... = 1이 수긍이 가야 할 것 같지 않은가?

이 두가지 과정은 기하학적으로 실수를 표현하는 직선의 방향을 바꾼 것에 지나지 않는다.

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사실 이 문제에서 더 재미있는 것은, 이런 수 표현 방식에서는 우리에게 친숙한 유한소수가 모두 두 개의 표현을 갖는다는 거다. 초등학교 산수시간 이후로 계속 껄끄러웠던 무한소수(반복되는 무한소수건, 안 반복되는 무한소수건 상관없이)여야 유일한 표현을 갖는다. (증명은!!??)