두 온 아흔 넷. 정말로 진지하게 궁금한 수학적 의문

4 + 5 x 6 := 4 + ( 5 x 6 ) 으로 정의하는 것과
4 + 5 x 6 := ( 4 + 5 ) x 6 로 정의하는 것은 동등할 것 같아요. 어느 쪽으로 정의를 한다고 해도, 실수까지 확장했을 때 표현할 수 없는 값은 없을 것 같고요.

아마 실용성 때문에, 전자를 정의로 받아들인 것 같아요. 좀 생각을 해 봤습니다.

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빼기와 나누기는 뒤에 붙는 수를 각 연산의 역원으로 바꾸면 더하기와 곱하기로 바꿀 수 있기 때문에, 더하기와 곱하기만 존재하는 수식에 대해 생각을 해 보면요.

자연수 a, b에 대해서
a x b = a + ... + a (b개)
를 간략하게 표현한 것입니다. 자연수에서 곱셈보다 덧셈이 더 펀더멘털한 연산이란 걸 알 수 있고요. 곱셈이 한단계 추상화된 표현이란 걸 알 수 있습니다.

추상화된 표현이 있다면, 그걸 먼저 풀어서 추상성을 한 단계 내린 후에 가장 기본적인 연산만으로 마지막 연산을 하는 것이라고 합리화를 할 수 있을 것 같아요.

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두번째 :
실수까지 확장했을 때 두번째 정의에서 표현할 수 없는 수가 없다고 했는데, 자연수만 가지고 저런 규칙으로 수식을 쓴다면, 접근할 수 있는 수가 굉장히 줄어듭니다.

어쩌구저쩌구 ... x 12347

은 앞에 어쩌구저쩌구가 어찌됐든 간에 12347의 배수가 되어버리죠.

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이 두가지 정의말고 계산기 방식으로 순서대로 앞쪽에 나온 것부터 값을 평가하여 수식을 평가하는 방법도 있겠는데, 요건 단점이 뭔지 좀 더 생각해 봐야겠습니다.

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어때요. 제 구라가 좀 솔깃한가요?

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http://egeria.egloos.com/1558483 도 보세요. 저도 이유로 든 추상성(Rudy님은 일반화라 표현함)에 덧붙여 현재의 정의가 분배법칙을 성립하게 한다는 중요한 이유를 말씀해 주셨습니다. 안 읽어 보셨다면 반드시 읽어 보세요.

수학자 pomp님도 한마디 해 주셨습니다.