양수 n에 대해서 1과 n 사이에 1이 나오는 횟수를 나타내는 함수를 f(n)이라고 한다. 예를 들어 f(13)=6이다. f(n)=n이 되는 첫번째 양수는 1이다. 두번째 양수는 무엇인가.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
0
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1
| 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
2
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
3
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
4
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
5
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
6
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
7
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
8
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
9
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
그래서, f(99)는 20이다.
그럼 f(999)는 300이고, f(9999)는 4000이고, f(99999)는 50000이고, f(999999)는 600000이고, f(9999999)는 7000000이고, f(99999999)는 800000000이다.
즉, f(10n - 1) = n* 10(n-1). n자리수를 n차원 공간으로 생각하면, 각 차원에서 1을 갖을 수 있는 것은 한 평면뿐이고, 그 평면의 크기는 10(n-1)이다. 평면이 겹치는 곳은 생각하지 않고 각 평면당 10(n-1)개를 셀 수 있으므로, n차원의 각 차원당 10(n-1)개, 즉, n개의 10(n-1) 개를 셀 수 있다.
